19世纪末，物理学界弥漫着“科学终结”的乐观情绪，多数物理学家认为，由经典力学、电磁学和热力学构成的物理学大厦已经近乎完美。普朗克的老师、慕尼黑物理学教授菲利普・冯・约利甚至劝他“别研究理论物理了，这门学科几乎被研究透了，只剩些无足轻重的空白需要填补”。
这种观点并非空穴来风。牛顿在《自然哲学的数学原理》中构建的经典力学体系，不仅能精准计算日常机械运动规律，还准确预言了诸多天文现象，甚至助力发现海王星。其强大的数学计算能力，令物理学家们惊叹“物理规律已被穷尽”。
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图（1）《自然哲学的数学原理》牛顿著
（图片来源：sothebys）
无独有偶，麦克斯韦通过将电学、磁学、光学统一为电磁波，成功建立电磁学理论，并预言了无线电波的存在。其理论后整理成著名的“麦克斯韦方程组”，物理学家们认为只要假设“以太”作为电磁波载体，经典物理学的电磁学理论就圆满无缺了。
除此之外，热力学理论中的能量守恒定律和熵增原理揭示了宇宙的基本运行规则，热力学三大定律早已成为物理学教科书中不容置疑的准则。可以说，经典力学统治了天体和尘埃，麦克斯韦方程组统一了光与电磁波，热力学三定律解释了能量流转，经典物理学的研究仿佛登峰造极，物理学家们只能感慨物理学只剩修补工作。
然而，1900年4月27日，英国物理学家威廉・汤姆森（即开尔文勋爵）在英国皇家学会发表演讲《十九世纪热和光的动力学理论上空的乌云》，指出经典物理学的“晴朗天空”飘着两朵乌云：第一朵乌云是“以太”假说与迈克尔逊-莫雷实验结果相矛盾；第二朵乌云是麦克斯韦-玻尔兹曼能量均分定理与黑体辐射实验结果相矛盾。
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图（2）《十九世纪热和光的动力学理论上空的乌云》演讲稿原文
（图片来源：参考文献[4]）
这两朵乌云看似微小，实则暗藏风暴。前者动摇了“以太”假说，催生了爱因斯坦的相对论；后者促使普朗克提出“能量量子化”概念，引爆了二十世纪的量子革命。从某种程度上说，“这两朵小小的乌云，最终酝酿成了一场颠覆物理学根基的风暴”。
量子物理的摇篮：黑体辐射19世纪末，随着第二次工业革命的浪潮席卷欧洲，德国在普法战争后获得法国割让的阿尔萨斯-洛林铁矿，并依托本国鲁尔区丰富的煤炭资源，大力发展钢铁工业，迅速崛起为欧洲的工业巨头。钢铁产量连年攀升，经济随之繁荣，国家实力也日益增强。
然而，在这看似一片大好的局面下，一个关键技术难题逐渐浮现：如何精准控制炼钢炉的温度？炼钢过程对温度要求极高，温度过高，钢材质量会大打折扣；温度过低，则会导致冶炼效率低下。这个难题像一根刺，扎在了钢铁工业发展的道路上，亟待解决。
工程师们发现，通过观察炼钢炉炉壁小孔发出的黑体辐射光谱，可以间接推算炉温。这一需求催生了黑体辐射研究。科学家最初认为黑体辐射只是热力学的一个小分支，未料到它会引发经典物理学的颠覆。
黑体并非指外观黑色的物体，而是一种理想化的物理系统，能完全吸收所有入射电磁辐射，不论其频率和入射角。常见的黑体模型是空腔上的小孔（见下图），空腔内壁对电磁辐射不透明。若空腔容积足够大，入射电磁辐射几乎无法从小孔逃逸，此时小孔的物理性质近似理想黑色表面。
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图（3）理想的“黑体”模型，即空腔上的一个小孔
（图片来源：Wikipedia）
根据能量守恒定律，黑体吸收电磁辐射后能量增加，并以电磁波形式向外辐射能量。当能量吸收与释放达到平衡时，黑体处于热平衡状态，即保持恒定温度。此时黑体发出的电磁辐射称为黑体辐射。
假设空腔容积很大，腔体内电磁辐射和外壳处于热平衡状态，腔体保持恒定温度。在工程实际中，黑体辐射强度仅与腔体温度相关，与其形状或材质无关，表现为特定的能量特征分布曲线。随着腔体温度升高，黑体辐射曲线的峰值向更短波长方向移动，即电磁波频率变高（见下图）。
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图（4）随着腔体温度的升高，黑体辐射的强度也会增加，并且曲线峰值会移动到更长的波长
（图片来源：Wikipedia）
黑体辐射曲线看似简单，但其对应的物理函数解释，曾是物理学界的一道难题。这一现象的深入研究，最终为量子理论的诞生奠定了基础。
经典物理的尴尬——怎么解释都不对！最初，物理学家们看到黑体辐射的曲线时，普遍认为这并非难解问题。毕竟，黑体辐射在钢铁工业生产中很常见，他们觉得用成熟且完善的经典物理学理论来解释这一现象，像是“杀鸡用牛刀”。
然而，随着研究深入，事情发展完全出乎意料，最终走向了一个谁都无法预见的新方向。
一. 瑞利-金斯公式的局限性
1900年，瑞利勋爵着手研究黑体辐射问题，他依据经典电动力学和统计力学中的能量均分定理进行推导，提出了一个关于黑体辐射能量分布的公式。但遗憾的是，当时他未能完全确定公式中的系数。
到了1905年，物理学家詹姆斯・霍普伍德・金斯在瑞利的研究基础上，对理论进行了完善，特别是修正了公式中的系数，最终确立了完整的“瑞利-金斯公式”。这个公式为解释黑体辐射现象提供了新的理论依据。
“瑞利-金斯公式”的推导基于两个关键假设：
一方面，黑体空腔内的电磁波以驻波形式存在。所谓的驻波，是指在黑体空腔内，电磁波的波形保持相对稳定，并且在特定的空间位置上形成振幅的最大值和最小值。驻波模式数可以通过三维波矢空间的积分计算得出，这种计算方法综合考虑了电磁波在黑体空腔内的传播方向、波长等众多因素，从而能够较为准确地描述黑体空腔内电磁波的分布情况。
另一方面，黑体空腔内每个驻波模式的能量遵循热力学中的“麦克斯韦-玻尔兹曼”能量均分定理。这个定理告诉我们，在热平衡状态下，每个自由度的平均能量为kʙT（其中kʙ是玻尔兹曼常数，T是温度）。在这里，自由度可以理解为电磁波振动的方向和方式，这意味着每个可能的振动模式都具有相同的平均能量，这似乎符合经典热力学的统计规律。
然而，当物理学家们满心欢喜地认为这一公式能够完美解释黑体辐射现象时，问题却出现了——实际应用表明，该公式只能较好地拟合黑体辐射曲线中的长波区域。当电磁波的波长较短时，公式所预测的辐射能量密度会急剧上升，呈现出与实验结果严重不符的情况。这种不符并非微小的偏差，而是呈现出一种极端的态势，即随着波长的不断缩短，公式计算出的辐射能量密度会呈现出指数形式的增长，与实际实验中观察到的黑体辐射曲线相差甚远。
这一现象的出现，实际上揭示了经典物理学理论在解释黑体辐射问题上的巨大局限性。按照经典物理学的思路，电磁波的能量是连续分布的，并且每个振动模式的能量都遵循经典能量均分定理。然而，这种假设在黑体辐射的短波长区域（即紫外光方向）导致了荒谬的结果：黑体空腔会在高频区域辐射出无限大的能量密度，这显然与实际观测到的现象完全不符。物理学家们将这种令人困惑的现象形象地称为“紫外灾难”。
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图（5）“瑞利-金斯公式”拟合曲线与“紫外灾难”的示意图
（图片来源：assignmentpoint）
二. 维恩公式的局限性
除了瑞利-金斯公式外，当时还有维恩公式也被用于描述黑体辐射曲线。
德国物理学家维恩在长期研究热辐射的基础上，发现黑体辐射的实验曲线与气体分子的速度分布有相似之处。于是，他借鉴热力学公式，结合实验数据，拟合出了维恩公式。
然而，维恩公式同样面临一些尴尬的问题，这体现在以下两个方面：
1.维恩公式在短波段（如可见光和紫外光区域）与实验结果较为吻合。这是因为维恩在研究中更多地参考了短波长的实验数据，所以公式在这一区域表现较好；
2.维恩公式在长波段（如红外和微波区域）的预测能力明显不足，计算出的辐射强度远低于实际观测值。
这些问题暴露了当时经典物理理论在解释黑体辐射现象上的局限性。
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图（6）“瑞利-金斯公式”以及“维恩公式”拟合曲线
与黑体辐射实验曲线的对比图
（图片来源：Wikipedia）
总的来说，瑞利-金斯公式在长波段表现尚可，但在短波段出现 “紫外灾难”，违背实验结果；维恩公式在短波段表现较好，但在长波段又无法匹配实验数据。这表明经典物理理论在处理微观现象时存在根本性缺陷，迫切需要新的理论来解决这些问题，而量子理论的出现正是解决这些难题的关键。
量子物理诞生的前夜1900年10月7日，在这个具有划时代意义的夜晚，德国实验物理学家海因里希・鲁本斯携带其最新的黑体辐射实验曲线，偕同夫人应邀来到普朗克家中赴宴。当鲁本斯展示实验曲线时，其结果与普朗克此前坚信的维恩公式存在明显差异，这一发现犹如巨石投入平静湖面，瞬间激起千层浪，令普朗克极为震惊。
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图（7）马克斯・普朗克（Max Planck）的青年照，他是德国著名的量子物理学家，也是量子力学的重要创始人之一，被誉为“量子理论之父”
（图片来源：Wikipedia）
此前，普朗克投入大量时间和精力，试图从统计物理和电磁场理论角度理解和推导维恩公式，并坚信其为黑体辐射的普遍规律。然而，鲁本斯展示的实验曲线无情地击碎了他的信念。这次会面犹如一记警钟，惊醒了普朗克，促使他开始重新审视黑体辐射的规律。
那是一个不眠之夜，普朗克在书房中反复思考、推敲，试图寻找一种新理论来解释黑体辐射现象，挑战经典物理学的局限性。经过一夜努力，他在次日清晨豁然开朗，递交了全新的普朗克公式，这个公式犹如一把钥匙，开启了量子物理的大门，成为量子物理的“出生证明”。
这一发现不仅解决了黑体辐射之谜，更为整个物理学界带来了全新的视角和研究方向。它引领科学家们走进了一个充满未知与奇迹的微观世界，开启了改变世界的科学革命。
那么，这个具有划时代意义的“普朗克公式”到底是什么呢？普朗克在那一夜是如何灵光乍现，获得这一重要发现的？这个公式又是如何与我们所熟悉的量子概念紧密相连的呢？下一篇文章中，让我们共同见证量子物理的诞生时刻，探索这一改变科学进程的伟大发现！
参考文献
[1] Kelvin L. I. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1901, 2(7): 1-40.
[2] Strutt J W, Rayleigh L. Remarks upon the law of complete radiation[J]. Phil. Mag, 1900, 49: 539.
[3] Wien W. On the division of energy in the emission-spectrum of a black body[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1897, 43(262): 214-220.
[4] Kelvin L. I. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1901, 2(7): 1-40.
出品：科普中国
作者：栾春阳 王雨桐（物理学博士）
监制：中国科普博览
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